第一节 X2检验
X2（称卡方）检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显着性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。
一、两个率的比较
（一）X2检验的基本公式 下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X2检验。其基本步骤如下：
1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。
将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。
2.建立检验假设 为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200），记为H0：π1=π2。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。
上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H0被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H1。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H1：π1≠π2
因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H0都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05），此值称为检验水准，记为α=0.05。
3．计算理论频数 根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。 然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。
计算理论频数也可用下式（3.4）
TRC=nRnC/N(3.4)
式中，TRC为R行与C列相交格子的理论频数，nR为与计算的理论频数同行的合计数，nC为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。
例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T1１）为
T1１＝ 75×70/200=26.25
用两种方法计算，结果是相同的。
4．计算χ2值，计算χ2值的基本公式为：
X2=∑（A-T）2/t （3.5）
式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。
将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5）即求得χ2值。此例χ2=4.929。
从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T）愈小，所得的χ2值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H0，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T）大，则χ2值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ2值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ2值表（附表1），查χ2值表前先要定自由度。
5．求自由度 自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数）的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：
ν=（R-1）（C-1） （3.6）
式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。
四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内）。因此ν=(2-1)(2-1)=1。
6．求P值，作结论 根据自由度查χ2值表（附表1）。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ2值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ2值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ2值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ2值也越大。χ2值与概率P呈相反的关系。χ2检验的常用界值为：
χ2<χ20.05（）P>0.05 在α=0.05水准处接受H0，差别不显著
χ20.05≤χ2<χ20.01()0.05≥P>0.01在α=0.05水准处拒绝HO，接受H1，差别显著
χ2≥χ20.01（）P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝HO，接受H1，差别显著
这里α是预定的检验水准。χ20.05（）是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ2值，简称5%点，χ20.01（）是与P=0.01相对应的χ2 值，简称1%点。
当ν=1时，χ20.05（1）3.84，χ20.01（1）=6.63。本例自由度为1，求得χ2=4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ20.05（1）<χ2<χ20.01（1）。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ2=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。
在α=0.05水准处拒绝H0，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。
下面将实例的检验步骤集中列出。
例3.1 两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？
表3.5 两组心肌梗塞病人病死率比较
| 组别 | 治疗人数 | 死亡人数 | 病死率（%） |
| 抗凝血组 | 75 | 19 | 25.33 |
| 对 照 组 | 125 | 51 | 40.80 |
| 总 计 | 200 | 70 | 35.00 |
检验步骤如下：
1．将资料列成四格表形式，如表3.6。
表3.6 四格表式样
| 死亡 | 生存 | 合计 | |
| 抗凝血组 | 19(26.25) | 56(48.75) | 75 |
| 对照组 | 51（43.75） | 74(81.25) | 125 |
| 总 计 | 70 | 130 | 200 |
2．H0：两疗法的总体病死率相同，即π1=π2
H1：两疗法的总体病死率不同，即π1≠π2
α=0.05
3．求理论频数
抗凝血组：
死亡人数为75×35.0%=26.25人
存活人数为75-26.25=48.75人
对照组：
死亡人数为125×35.0%=43.75人
存活人数为125-43.75=81.25人
把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。
4．求χ2值 将表3.6里的数值代入式（3.5）得，
5．求自由度，确定P值，作结论
ν=（2-1）（2-1）=1，χ2 0.05（1）=3.84,χ2 0.01（1）=6.63,
本例χ2=4.929,χ2 0.05（1）<χ2 <χ2 0.01（1），则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。
上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X2检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ2值，二者相差越大，χ2值也越大。本例得χ2=4.929，根据自由度为1时的χ2分布推断，从同一总体内抽样，出现χ2值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。
（二）连续性校正公式 χ2检验是以连续的光滑曲线做根据的，当自由度为1时，χ2检验所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ2值比不校正的小一些，校正公式是：
公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。
将表3.5资料代入式（3.7）得：
检验两个率相差的显著性时（此时自由度为1），理论上都可用校正公式。但当用公式（3.5）求出的χ2值小于3.84时，相应的P值大于0.05，表示两个率相差不显著，校正后χ2值更小，仍得同样结构，就无须校正；当用未校正公式求出的χ2值远远超过3.84时，校正后的结论仍相同，在此种情况下也可不校正；当自由度为2及以上时，则不必校正。
当用公式（3.5）求出的χ2值略大于3.84时，校正最为必要，往往会改变原来的结论，举例如下。
例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。
表3.7 六六六粉两种配方灭黄鼠的效果
| 烟薰后鼠洞情况 | 合 计(实验观察洞数) | 灭洞率（%） | ||
| 未盗开 | 盗 开 | |||
| 04号配方 | 13(16.63) | 9(5.37) | 22 | 59.1 |
| 05号配方 | 80(76.37) | 21(24.63) | 101 | 79.2 |
| 总 计 | 93 | 30 | 123 | 75.6 |
现用公式（3.5）及式（3.6）分别计算χ2值如下：
校正后的χ2值小于3.84，P>0.05，在α=0.05的水准处接受H0，认为两种配方灭黄鼠效果无显著差异，这相结论是比较合理的，如果不经校正就会得出错误的结论。
（三）四格表中求χ2的专用公式 用上述基本公式（3.5）求χ2值，需要求出与实际频数一一对应的理论频数，运算较繁。在四格表中，用下列专用公式较为简便。
式中a、b、c、d为四格表中的实际频数，N表示总例数（即N=a+b+c+d）。
现仍以表3.5资料为例，先写成四格表形式，如表3.8。
表3.8 四格表求χ2值专用公式的符号
| 死 亡 | 生存 | 合 计 | |
| 抗凝血组 | 19(a) | 56(b) | 75(a+b) |
| 对照组 | 51(c) | 74(d) | 125(c+d) |
| 70（a+c） | 130(b+d) | 200(N) |
将实际频数代入式（3.8）得，
这里用专用公式求得的χ2值与前面用基本公式求得的结果完全不同，有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入，这是由于受小数四舍五入的影响。
前面已介绍了连续性校正公式（3.7），为使运算更为简便，下面列出专用公式的连续性校正公式（3.9），并以表3.8资料代入计算如下：
所得结果与式(3.7)求得的一致。
二、多个率或多个构成比的比较
（一）2×K表的专用公式，前面已讨论了，两个率的比较用四格表专用公式计算χ2值较为简便。如果是多个率比较，就要列成2×K表。这里的K暂为所比较的组数，2为每个组内所划分的类型数。求χ2值时本可用基本公式计算，但以用下列专用公式为便：
表3.9 2×K表形式之一
| a1 a2 ┆ ┆ | b1 b2 ┆ ┆ | n1 n2 ┆ ┆ |
| ∑ai | ∑bi | N |
公式中符号的意义参阅表3.9，以上两个公式的计算结果是完全一样的。
例3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂（吡嗪磺合剂）预防疟疾复发的效果，用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照，比较三组的疟疾复发率，资料如表3.10，问三组复发率有无显著差别？
表3.10 三个组的疟疾复发率
| 组 别 | 观察例数 | 复发例数 | 复发率（%） |
| 吡嗪磺合剂 乙胺嘧啶 对 照 | 1996 473 484 | 76 27 53 | 3.81 5.71 10.95 |
| 合 计 | 2953 | 156 | 5.28 |
χ2检验步骤如下：
1．将表3.10资料写成2×K表形式，见表3.11。注意：这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分，这样表3.10就为写成2×3表。
表3.11 三个组疟疾复发率的比较
| 复发 | 未复发 | 合 计 | |
| 吡嗪磺合剂 | 76 | 1920 | 1996 |
| 乙胺嘧啶 | 27 | 446 | 473 |
| 对 照 | 53 | 431 | 484 |
| 合 计 | 156 | 2797 | 2953 |
2．H0：三个总体复发率相同
H１：三个总体复发率不全相同
α=0.05
3．求χ2值 将表3.11的数值代入式（3.10）（因为在表3.11中，各组的a值较小，计算较方便）得：
4．求自由度，确定P值，作结论
ν=（K-1）（2-1）=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01(2)=9.21，本例χ2=39.92>χ20.01(2)，P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H0，接受H1，即三个组的复发率有显著差别。
本例的结论是三个组的复发率有显著差别，因此，还需进一步说明三组中那两组有差别，可用四格表对每两个率进行假设检验。本例的检验结果是：吡嗪磺合剂与对照组比（P<0.01），乙胺嘧啶组与对照组比（P<0.01），而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比（P>0.05），说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。
本例2×K表的2是指得发、未复发两项，K为比较的组数，K=3。如果比较组数只有2，而构成每组的项数则多于2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。这时把2作为比较组数，K作为项数，检验方法同上，表3.12是2×K表的另一种形式。
表3.12 2×K表形式之二
| a1 | a2 | …… | ∑ai∑bi |
| b1 | b2 | …… | |
| n1 | n2 | …… | N |
例3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查，得资料如表3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？
表3.13 某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较
| 县名 | 弥漫型 | 结节型 | 混合型 | 合计 |
| 甲县 | 486 | 2 | 4 | 492 |
| 乙县 | 133 | 260 | 51 | 444 |
| 合计 | 619 | 262 | 55 | 936 |
检验步骤如下：
1．H0：两总体甲状腺肿型别构成相同
H1：两总体甲状腺肿型别构成不同
α=0.05
2．求χ2值， 将表3.13中的数值代入式3.10得：
3．求自由度，确定P值，作结论。
ν=（3-1）（2-1）=2，查χ2值表得χ20.01(2)=9.21,本例，χ2=494.36，P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H0，接受H1，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P<0.01）。甲县以弥漫型为主，而乙县结节型较多，地域与患者的型别构成具有一定的关系。
此类资料经χ2检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有显著差别。如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。同时要指出两组构成的主要区别。
（二）R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。对此种资料作假设检验时，可用基本公式（3.5）,但运算较繁，如果用R×C表的通用公式计算χ2值，较为简便。
式中，Aij为i行第j列的实际频数，ni为第i行的合计数，nj为第j行列的合计数，N为总频数。
这个公式也系由基本公式（3.5）推导出来，式（3.12）也可用以求四格表、2×K表资料的X2值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5）相比，较为简便。
例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在？
表3.14 胆结石类型与部位的关系
| 结石部位 | 总例数 | 例 数 | 百 分 比 | ||||
| 胆固醇结石 | 胆红素结石 | 其它 | 胆固醇结石 | 胆红素结石 | 其它 | ||
| 胆囊 | 118 | 70 | 16 | 32 | 59.3 | 13.6 | 27.1 |
| 肝外胆管 | 75 | 12 | 39 | 24 | 16.0 | 52.0 | 32.0 |
| 肝内胆管 | 29 | 2 | 20 | 7 | 6.9 | 69.0 | 24.1 |
| 合计 | 222 | 84 | 75 | 63 | 37.8 | 33.8 | 28.4 |
检验步骤如下：
1．将表3.14资料写成R×C表形式，见表3.15.
表3.15 胆结石类型与部位的关系
| 结石部位 | 结 构 类 型 | ||||
| 胆固醇结石 | 胆红素结石 | 其它 | 合计 | ||
| 胆囊 | 70 | 16 | 32 | 118 | |
| 肝外胆管 | 12 | 39 | 24 | 75 | |
| 肝内胆管 | 2 | 20 | 7 | 29 | |
| 合计 | 84 | 75 | 63 | 222 | |
2．H0：胆结石的类型与部位没有关系
H1：胆结石的类型与部位有关系
α=0.01
3．求χ2值 将表3.15数值代入式（3.12）得：
4．求自由度，确定P值，作结论。
ν=（3-1）（3-1）=4，查χ2值表得χ20.01(4)=13.28，本例χ2=64.06<χ20.01。在α=0.01水准处拒绝H0，接受H1，胆结石类型与部位有显著关系存在（P<0.01）,胆囊内以胆固醇结石居多，肝内、外胆管以胆红素结石为主。